1.0    

Die Verflechtungen dreier Abteilungen  U,  V  und  W  eines Betriebes untereinander und mit dem Markt nach dem Leontief-Modell sind durch die Inputmatrix    gegeben.

1.1

Berechnen Sie die Produktionsmengen in den einzelnen Abteilungen, wenn mit dem Marktabgabevektor    gerechnet wird.   (6 BE)

1.2

Geben Sie für die Produktion nach Teilaufgabe 1.1 die Verflechtungstabelle mit allen intern verbrauchten und an den Markt gelieferten Mengen an.   (3 BE)

1.3

Für eine kurzfristige Planung gilt der Produktionsvektor    mit  .  Mit  s(t)  wird die Summe der an den Markt abgegebenen Mengen in Abhängigkeit von  t  bezeichnet. Bestimmen Sie den Wert von  t, für den  s(t)  am größten wird, und berechnen Sie den Maximalwert von  s(t).   (7 BE)

2.0

Im    sind die Punke  A(–1 | 1 | 1),  B(1 | –k | –1),  C(2 | 2 – k | –8)  mit  k   gegeben.

2.1

Berechnen Sie die Werte von  k, für welche die Vektoren  ,    und    eine Basis des rellen Vektorraums    bilden.   (6 BE)

2.2

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Vektoren  ,    und    (also  k = 1)  und stellen Sie eine mögliche gegenseitige Lage in einer Skizze dar.   (3 BE)

2.3

Bestimmen Sie für die Ebene  E:   =  + r ·  + s ·   mit  r, s  eine parameterfreie Gleichung. Welche besondere Lage hat  E  im Koordinatensystem?   (6 BE)
(mögliches Ergebnis:  E:  3x₁ + 2x₂ + x₃ = 0)

2.4

Untersuchen Sie die gegenseitige Lage der Geraden    mit  t, m  und der Ebene  E  in Abhängigkeit von  m.  Berechnen Sie für  m = 1  die Koordinaten des Schnittpunktes  S  von  E  und  g₁.   (5 BE)

2.5

Der Punkt  Q  teilt die Strecke  [PS]  mit  P(6 | 5 | 0)  und  S(0 | 1 | –2)  im Verhältnis  λ = –2. Geben Sie anhand einer Skizze die Lage des Punktes  S  bezüglich der Strecke  [PQ]  an und berechnen Sie die Koordinaten von  Q.   (4 BE)

1.0    

Die drei Zweigwerke  U, V  und  W  eines Betriebes sind nach dem Leontief-Modell untereinander und mit dem Markt verflochten.  A ist die zugehörige Input- und  E  die Einheitsmatrix.  Es gilt: 

1.1

Erklären Sie die Bedeutung der Werte Null in der obigen Matrix.   (3 BE)

1.2

Ermitteln Sie, wie viele Mengeneinheiten  V  an  U  liefert bzw.  V  selbst verbraucht, wenn der Produktionsvektor
  ist.   (4 BE)

1.3

In einem anderen Produktionszeitraum steigt die Nachfrage auf   .  Berechnen Sie den zugehörigen Produktionsvektor.   (5 BE)

2.0

Gegeben ist das lineare Gleichungssystem  () :
        (1)      x₁ + x₂ – x₃ = 1
        (2)      x₂ + (2 + k) · x₃ = 1
        (3)      (6 – k – k²) · x₃ = 2 – k

2.1

Ermitteln Sie die Werte von  k, für welche das System keine, eine oder mehr als eine Lösung hat.   (6 BE)

2.2

Bestimmen Sie die Lösungsmenge für  k = 2.   (3 BE)

3.0

Im    sind die Gerade    mit  r   sowie die Punkte    und    mit  a   gegeben.

3.1

Durch die Punkte  A_a  und  B_a  ist die Gerade  g_a  festgelegt. Geben Sie in Abhängigkeit von  a  eine Gleichung der Geraden  g_a  an.   (2 BE)

3.2

Ermitteln Sie die gegenseitige Lage von  g_a  und  h  in Abhängigkeit von  a.   (8 BE)

3.3

Die Geraden  g₂ (a = 2)  und  h  sind windschief zueinander. Bestimmen Sie eine Gleichung der Ebene  E  in Koordinatenform, die  h  enthält und parallel zu  g₂  verläuft.
(mögliches Ergebnis:  E:  –x₁ + 10x₂ – 6x₃+ 7 = 0)   (5 BE)

3.4

Begründen Sie mit Hilfe der bisherigen Kenntnisse, dass  g₃ (a = 3)  und die Ebene  E  genau einen Punkt gemeinsam haben, und berechnen Sie die Koordinaten dieses gemeinsamen Punktes.   (4 BE)