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Thema

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Kurzübersicht

  Analysis :     (s. a. Videoclips für die 11. Klasse Algebra und Analysis 8.-19.)

1. 

Rationale Funktionen

3:41

Zusammenhang zwischen Polynomen und ganzen Zahlen bzw. zwischen rat. Funktionen und rat. Zahlen ; Definitionsbereich

2. 

z-Transformation

14:36

Anwendung rat. Funktionen z.B. bei der Signalfilterung : Messreihen werden als rat. Funktionen kodiert. Übersetzung von Signaloperationen in Rechenoperationen der rat. Funktion am Beispiel eines Schaltplans für eine Signalfilterung.

3. 

weiter z-Transformation, Rückkopplung

12:49

Beispielschaltplan einer Signalverarbeitung wird in eine Gleichung übersetzt, deren Auflösung zu einer rat. Funktion als Faktor des Anfangssignals führt. Spezialfall: Anfangssignal = Impuls : Lösung der Gleichung ist eine rat. Funktion.

4. 

Nullstellen und Pole

12:22

Faktorisierung von Zähler und Nenner, Kürzen, Verweis auf geänderte Def.menge ; Bedeutung der verbleibenden Nullstellen von Z. und N. (Def.menge ignoriert!)

5. 

weiter Nullstellen und Pole

4:40

ungefährer Graph des dritten Beispiels von 4.

6. 

Polynomdivision, Teil 1

6:00

Division natürlicher Zahlen mit Rest : Übertragung auf Polynome ; Beginn einer Polynomdivision mit ungünstigem Beispiel!

7. 

Polynomdivision, Teil 2

7:28

Fortsetzung von 6. mit modifiziertem Beispiel ; graphische Interpretation des ganz-rationalen Anteils des Divisionsergebnisses

8. 

Asymptoten

7:12

Kurzer Hinweis auf senkr. Asympt. ; nicht-senkrechte Asympt. im Fall
a) Zählergrad (ZG) < Nennergrad (NG),   b) ZG = NG,   c) ZG > NG

9. 

Stetigkeit, stetig hebbare Definitionslücken

24:33

anschauliche Erklärung der Stetigkeit ohne Formalismus ; Zwischenwertsatz ; Grenzwertsatz. Stetige Fortsetzbarkeit: Beispiel f(x) = e^-1/x², konfrontiert mit y = 1/x

10. 

Verkettung von Funktionen, Teil 1

6:23

Definition des Begriffs mit Beispielen, u.a. f(x) + 3, 2∙f(x), 2∙f(x) + 3

11. 

Verkettung von Funktionen, Teil 2

9:00

Beispiele f(x-3), f(2x) ; Kombination der Beispiele

12. 

Verkettung von Funktionen, Teil 3

7:47

Exponentielles Beispiel: 2^x = 10^? mit graphischer nicht ganz korrekter Interpretation

13. 

Produktregel

s. Videoclips-BOS-12.html, Nr. 21, 22

14. 

Kettenregel

7:54

Vorstellung der Regel ohne klare Begründung ; 1. Beispiel: f(x) = (x²+3)² ;
2. Bsp.: f(x) = (√x)²

15. 

Quotientenregel,_Potenzregel

7:02

3 Bsp.: f(x) = e^{ln x} ; Herleitung der Quotientenregel über die Produktregel und Kettenregel

16. 

Exponentialdarstellung

7:04

Darstellung sehr großer oder sehr kleiner Zahlen als Zehnerpotenzen ; gültige Ziffern

17. 

Potenzfunktionen und Exponentialfunktionen

10:29

Die Potenzfunktionen y = xⁿ für n=2, 3, 42 und die Exponentialfunktion y = 3^x werden in OpenOffice grapisch dargestellt.

18. 

Exponentialfunktionen

6:00

Graphischer Verlauf von y = a^x für a > 1 ; Vergleich mit Potenzfunktionen

19. 

Exponentialfunktionen

10:00

Begriffe und Verhalten an y = 7∙3^x erklärt ; Graphen von y = 2^x und von y = 10^x, Monotonie, Wertemenge, asymptotisches Verhalten ; Graph von y = (½)^x bzgl. 2^x

20. 

Beispiele Exponentialfunktionen

10:47

Zinseszins : Zinssatz 5% => K = K₀ ∙ 1,05^t (also Basis > 1);
radioaktiver Zerfall : N = N₀ ∙ (1/2)^{t / HWZ} (also Basis < 1 bzw. negativer Exponent)

21. 

Exponentielles Wachstum

9:55

Funktionsgleichung und Graph vom 1. Beispiel: Startwert 100 Bakterien, die sich im Stundentakt verdoppeln ; ~ vom 2. Beispiel: Zinseszins: K₀=100€, 1% p.a.

22. 

Exponentieller Zerfall

10:51

Funktionsgleichung und Graph vom Beispiel: 1kg radioakt. Material hat die Halbwertszeit 10 000 Jahre ; Vorstellung der e-Funktion mit Steigungswinkel 45° bei x=0 und ihr Graph mittels OpenOffice

23. 

Eulersche Zahl, Teil 1

8:00

Graphen von y = 2^x (Steigung bei 0 < 1) und y = 3^x (Steigung bei 0 > 1) ; e so zu definieren, dass y = e^x bei 0 genau die Steigung 1 hat. Für x ≈ 0 gilt dann e^x ≈ 1+x.

24. 

Eulersche Zahl, Teil 2

10:45

e = e^{1000 / 1000} = (e^{1 / 1000})¹⁰⁰⁰ ≈ (1 + 1/1000)¹⁰⁰⁰ ; also: (1 + 1/n)ⁿ → e für n → ∞ ; Anwendung dieses Grenzwerts für die Berechnung krummer e-Potenzen

25. 

Ableitung der Exponentialfunktion

6:05

Herleitung mittels Differenzenquotienten, aus dessen Zähler e^x ausgeklammert wird => Bruch → 1 für h → 0, da Steigung der e-Fkt. bei x=0 1 beträgt.

26. 

Regel von L'Hôpital, Null durch Null

14:10

Formulierung der Regel und Demonstration am Beispiel (sin x) / (e^x – 1) für x → 0 ; Herleitung mit Hilfe der Tangenten von f und g bei x₀.

27. 

Logarithmen

10:37

10^x = 10000 => x=4=lg 10000 ; lg(0,01)=? ; log₃(1/9) ; Definitionsmenge der Logarithmen und Bereich für ihre Basis ; Schreibweisen

28. 

Logarithmus

8:25

Potenz gegeben, a) Basis gesucht: n-te Wurzel, b) Exponent gesucht: log_Basis ; Beispiele von Logarithmen ; Gewinnung des Graphen von lg x aus 10^x

29. 

Beispiele Logarithmus

8:11

1. Zinseszins: Berechnung der Anzahl Jahre, in der sich das neue Kapital gebildet hat. 2. Berechnung der Anzahl Bits, die nötig sind, um 64 Zeichen darzustellen.

30. 

Rechenregeln für Logarithmen

9:31

log_a(x ∙ y) = log_a(x) + log_a(y) ; log_a(x / y) = log_a(x) – log_a(y) ; log_a(xⁿ) = n∙log_a(x) ; log_a(ⁿ√x) = log_a(x) / n ; Beispiel dazu

31. 

Rechenregeln Logarithmus, Teil 1

10:30

Herleitung von log_a(x∙y) = log_a(x) + log_a(y) am Bsp. ; Anwendung: Rechenschieber

32. 

Rechenregeln Logarithmus, Teil 2

4:35

log_a(x/y) = log_a(x) – log_a(y) ; log_a(x^y) = y∙log_a(x) ; log_a(^y√x) = log_a(x) / y ; tabellarische Zusammenfassung der Rechentransformationen des Logarithmus

33. 

Logarithmen zu verschiedenen Basen

8:53

Logarithmen zu üblichen Basen ; Herleitung von log_a(x) = lg(x) / lg(a) am Beispiel