Fachabiturprüfung 2008 zum Erwerb der Fachhochschulreife

Aufgabengruppe S II

Seminararbeit von Landinger Anna

Ein Spezialitätengeschäft bietet 3 Sorten Kaviar an: A, B und C. Der Kaviar wird jeweils in den 
Farben Schwarz (s) und Hellbraun (h) angeboten und zwar in kleinen (k) oder großen (g) Blechdosen.
Da ein Großteil der Kunden jeweils nur eine Dose Kaviar kauft, werden im Folgenden nur diese Kunden betrachtet. 
Erfahrungsgemäß entscheiden sich 20% dieser Kunden für B-Kaviar, die andernen wählen zu gleichen Teilen
die Sorten A und C. Der Verkaufsanteil an schwarzem Kaviar ist bei den Sorten A und B dreimal so hoch wie 
an hellbraunem, bei der Sorte C ist es jedoch umgekehrt. Sorte A wird zu 70% als große Dose gekauft, 
Sorte B zu 50% und Sorte C zu 80% und zwar unabhängig von der Farbe.
Die Entscheidung eines zufällig ausgewählten Käufers für eine bestimmte Dose Kaviar wird als Zufallsexperiment
aufgefasst. Interpretieren Sie bei den folgenden Aufgaben alle relativen Häufigkeiten als Wahrscheinlichkeiten.

1. Berechnen Sie mit Hilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeiten aller zwölf Elemantarereignisse.
    [Teilergebnis: P({Asg}) = 0,21] 
(8 BE)

2. Gegeben sind die Ereignisse
     E1: "Der Kunde kauft hellbraunen Kaviar in einer kleinen Dose."
     E2: "Der Kunde kauft schwarzen Kaviar, aber nicht die Sorte A."
     Stellen Sie beide Ereignisse in aufzählender Mengenschreibweise dar und berechnen Sie deren Wahrscheinlichkeiten. 
     Untersuchen Sie anschließend beide Ereignisse auf Unvereinbarkeit. 
(6 BE)

3.0 Von 200 Kaviar-Käufern kauften in der Woche vor Ostern 130 A-Kaviar. 
       90 dieser 200 Personen klagten nach dem Verzehr über Unwohlsein (U), darunter 10, 
       die keinen A-Kaviar gegessen hatten.

3.1 Stellen Sie den beschriebenen Sachverhalt mit Hilfe einer Vierfeldertafel dar. Überprüfen Sie rechnerisch, 
      ob die Ereignisse K: "Die Person isst A-Kaviar" und U: "Es tritt Unwohlsein auf" stochastisch unabhängig sind.
      Geben Sie eine mögliche Interpretation Ihres Ergebnisses im Sinne der vorliegenden Thematik.
(6 BE)

3.2 Geben Sie mit Hilfe einer Vierfeldertafel ein Zahlenbeispiel Ihrer Wahl an, in dem die beiden Ereignisse K und U
       stochastisch  unabhängig sind und begründen Sie kurz diese Unabhängigkeit.
(3 BE)

4.0 Es werden nun 12 zufällig ausgewählte Kaviarkäufer betrachtet. 
       Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Kunden an, die sich für B-Kaviar entscheiden.
       (Zur Erinnerung: P({B}) = 0,2)

4.1 Gegeben sind die Ereignisse
       E3: "Genau 3 Kunden entscheiden sich für B-Kaviar."
       E4: "Nur der 4., der 6. und der 11.Kunde kaufen B-Kaviar."
       Berechnen Sie P(E3) sowie (exakt!) den Faktor a, für den gilt: P(E3) = a . P(E4).
(3 BE)

4.2 Berechnen sie die Wahrscheinlichkeit des Ereignisses E5: "Genau 3 aufeinanderfolgende Kunden kaufen B-Kaviar."
(2 BE)

4.3 Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Zufallswerte innerhalb der einfachen Standardabweichung um den 
       Erwartungswert liegen.
(4 BE)

5.0 An einem bestimmten Tag stellt der Abteilungsleiter fest, dass von insgesamt 65 Kaviarkäufern sich 18 für 
       die Sorte B entschieden haben. Er vermutet nun, dass sich der Anteil der B-Käufer erhöht hat.

5.1 Begründen sie kurz, worauf sich diese Vermutung stützen könnte.
(2 BE)

5.2 Die Geschäftsleitung lässt daraufhin einen Signifikanztest mit 200 zufällig ausgewählten Kunden 
       durchführen. Auf dem 5%-Niveau soll ermittelt werden, ob der Anteil der B-Kunden wirklich gestiegen sein 
       könnte (Gegenhypothese). Geben sie die Testgröße sowie die Nullhypothese H0 an und ermitteln Sie 
       deren maximalen Ablehnungsbereich.
       Bewerten sie anschließend folgende Aussage: "Wenn von den 200 Kunden mindestens jeder vierte B-Kaviar kauft, 
       kann man auf dem 5%-Niveau mit einer Zunahme dieses Käuferanteils schließen."
(6 BE)