Übungsblatt Binomialverteilung

Seminararbeit von Simon Rüedi, Oktober 2003

 

1. Es sei bekannt, dass bei einer als 2. Wahl angebotenen Sorte von Dioden Ausschuss ist. Mit welcher Wahrscheinlichkeit enthalten 10 zufällig ausgewählte Dioden

a) genau 2 Fehlstücke


b) bis zu (höchstens) 2 Fehlstücke

2. Ein bestimmtes technisches Gerät wird aus 3 Einzelteilen zusammengesetzt, wobei das Gerät genau dann funktioniert, wenn alle 3 Einzelteile funktionieren und kein Fehler beim Zusammensetzen passiert. Die Wahrscheinlichkeiten, dass die Einzelteile A, B, C innerhalb der Reparaturzeit defekt sind, betragen 1 %, 1 % und 5 % bzw. während die Wahrscheinlichkeit für einen Fehler beim Zusammensetzen 2 % betrage. Ferner sei bekannt, dass alle 4 Fehlertypen unabhängig voneinander auftreten.

a) Berechnen Sie den Erwartungswert und die Standardabweichung der Anzahl defekter Exemplare des Geräts, die sich in einer Lieferung von 1000 Exemplaren befinden.


b) Es sei bekannt, dass jedes defekte Exemplar des Geräts der Herstellfirma durchschnittlich 100 € an Kosten verursacht. Aufgrund dieser Tatsache soll die Frage entschieden werden, ob von der Möglichkeit Gebrauch gemacht werden soll, die Einzelteile des Typs C zu einem höheren Preis zu beziehen, so dass ein Teil C auch nur mit einer Wahrscheinlichkeit von 1 % ausfällt. Wie hoch darf der Aufpreis pro Stück des Teils C höchstens sein, damit es sich gerade noch lohnt, die Teile C der höheren Preisklasse zu beziehen bei 1000 Exemplaren?

3. X sei eine B (n; p) verteilte Zufallsgröße mit µ = 5 , ² = 3,75
a) Berechnen Sie die Parameter n und p.


b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass X sich um mindestens 2 Einheiten vom Erwartungswert unterscheidet.


c) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P ( µ - < X < µ + ).


d) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit P ( µ - 2 < X < µ + 2)

4. Ein Verkäufer von Melonen behauptet, dass 90 % seiner Früchte ein Gewicht von mindestens 2 kg haben. Ein Händler kauft 200 Stück.

a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeiten folgender Ereignisse:

A: höchstens 20 Früchte haben ein Gewicht von weniger als 2 kg.
B: zwischen 16 und 24 Früchte haben ein Gewicht von weniger als 2 kg.
C: mehr als 24 Früchte haben ein Gewicht von weniger als 2 kg.


b) Befinden sich in einer Stichprobe von 20 Melonen mehr als drei mit Untergewicht, dann wird ein Preisnachlass von 20 % vereinbart. Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss der Verkäufer Preisnachlass gewähren?

5. Die Geräte des Typs H und E sind äußerlich nur an Hand eines Aufklebers zu unterscheiden. Wegen einer Modellumstellung soll das Lager des Herstellers in Bezug auf oben erwähnten Gerätetyp geräumt werden. Der sehr große Restbestand an Kopierern der Typen H und E enthält genau 40 % einfache Geräte E. Von allen Geräten werden die Aufkleber entfernt. Je vier zufällig ausgewählte Geräte werden als Paket verpackt und Händlern in einer Sonderaktion zu einem sehr niedrigen Preis angeboten. Die Zufallsgröße X gibt die Anzahl der Geräte vom Typ E in einem solchen "Viererpaket" an.

a) Erstellen sie eine Wertetabelle der Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X und zeichnen Sie das dazugehörige Histogramm.

b) Geben Sie die zur Zufallsgröße X gehörige kumulative Verteilungsfunktion F eine Wertetabelle an und zeichnen Sie den Graphen von F.

c) Ermitteln Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass in einem solchen "Viererpaket" mindestens zwei und höchstens drei Geräte des Typs E zu finden sind.

6. Ein Händler hat 50 Pakete aus der Sonderaktion des Herstellers erworben (von Aufgabe 5).
Er erwägt, alle 200 erworbenen Geräte auf ihre Qualität hin zu überprüfen, um die Geräte des Typs H herauszufinden. Für Typ H könnte er dann pro Stück 80€ mehr verlangen als für Typ E.

a) Ermitteln Sie zunächst, wie viele Geräte des Typs H der Händler haben müsste, um Mehreinnahmen von mindestens 8000€ zu erzielen. Berechnen Sie dann die Wahrscheinlichkeit dafür, dass er dieses Ziel erreicht, wenn man davon ausgeht, dass alle Geräte verkauft werden. Beachten Sie die Angaben in Aufgabe 5 über den Anteil der Geräte eines Typs.


b)Untersuchen Sie, ob der Händler auch dann noch Mehreinnahmen erwarten könnte, wenn man berücksichtigt, dass ihm durch das Prüfverfahren pro Gerät zusätzliche Kosten in Höhe von 40€ entstehen.

7. Ein großes Internetcafé hat Plätze an 50 PCs. Umfangreiche Untersuchungen haben gezeigt, dass die Wahrscheinlichkeit dafür, dass ein PC in der Kernzeit belegt ist, für jeden der 50 PCs p = 0,7 beträgt.

(In den beiden folgenden Aufgaben wird nur dieser Zeitbereich betrachtet.)

a) Berechnen Sie, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Anzahl der belegten PCs innerhalb der einfachen Standardabweichung um den Erwartungswert liegt.

b) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass zu einem bestimmten Zeitpunkt mindestens 15 PCs frei sind.

8. Ein Außerhausverkauf für italienische Speisen weiß aus Erfahrung, dass 60 % der Kunden eine Pizza, 30 % ein Nudelgericht und der Rest eine Gemüseplatte wünschen. Florian möchte für seine Oma eine Gemüseplatte mit nach Hause nehmen. Er steht in einer Schlange vor der Ausgabe. Vor ihm stehen noch acht Personen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit

a) wünschen von den Personen vor ihm sechs eine Pizza und zwei ein Nudelgericht?

b) erhält er seine Gemüseplatte, wenn man weiß, dass nur noch drei Gemüseplatten vorrätig sind?

 

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