a)  Einführung

     Unter der „allgemeinen Exponentialfunktion“ versteht man eine Funktion der Form
     f:  x  |  ax,  x  IR.

     1. Für welche  a  IR  ist die allgemeine Exponentialfunktion definiert? Geben Sie
         ein Gegenbeispiel an!   

     2. Stellen Sie für  a = 2 und für  a = 3  Wertetabellen der zugehörigen Exponential-
         funktionen auf, und zeichnen Sie die Grafen! Beschreiben Sie exakt den Verlauf
         beider Grafen, und zwar auch im Verhältnis zueinander!   



b)  Die Zahl „e“

     Die folgende kleine Bildersequenz zeigt eine interessante Beziehung zwischen den
     Grafen ausgewählter Exponentialfunktionen und denen ihrer Ableitungsfunktionen
     auf.
     Schauen Sie sich nun diese Bildersequenz an!

     3. Welche Beziehung zwischen den Grafen der Exponentialfunktionen und denen
         ihrer Ableitungsfunktionen fällt in der Bildersequenz auf?   

     Sie erkennen, dass es eine Zahl  e ≈ 2,75  geben muss, so dass gilt:
     

     
(ex)' = ex
     

     Wir versuchen nun, diese „Eulersche Konstante“ e genauer zu ermitteln.

     4.1 Stellen Sie für die Funktion  f: x | ex den Differenzenquotienten (d. h. die
           Sekantensteigungsformel) auf und klammern Sie e aus!   
     4.2 Gegen welchen Wert strebt für  h  0 der Bruch  ?   
     4.3 Welcher Grenzwert für die Zahl e ergibt sich aus dem Grenzwert von 4.2 ?
           (Tipp:  h ≈ 0 setzen und Resultat von Aufgabe 4.2 nach e auflösen!)   

     Da die Zahlenfolge   (n = 1; 2; 3; . . .) gegen  0 strebt, kann im Resultat von
     Aufgabe 4.3  h  durch  ersetzt werden. Damit ergibt sich für die Zahl e die
     berühmte Näherung:
     

     
  e     (n = 1; 2; 3; . . .)
     

    4.4 Setzen Sie nun der Reihe nach in diese Formel n = 1; 2; 4; 8; 16; . . . ein, und
          ermitteln Sie auf diese Weise die Zahl e auf 3 Dezimalen genau!   


c)  Die Umkehrfunktionen der Exponentialfunktionen

     5. Gegeben ist die Funktion  f: x | 2x – 3.
     5.1 Bestimmen Sie die Gleichung der Funktion  g  mit der Eigenschaft  g(f(x)) = x.
           
     5.2 Zeichnen Sie die Grafen der beiden Funktionen f und g in das selbe Koordi-
           natensystem! In welcher Beziehung stehen die Grafen zueinander?   

     6.1 Mit welcher Eigenschaft ist eine Funktion garantiert umkehrbar?   
     6.2 Warum sind alle Exponentialfunktionen der Form f: x | ax, xIR    aIR+
           umkehrbar?   

     7. Gegeben ist die Exponentialfunktion  f:  x  |  10x,  x  IR  mit ihrer Umkehr-
         funktion g.
     7.1 Erstellen Sie eine Wertetabelle für die Umkehrfunktion g.  Wählen Sie dabei
           nur x-Werte, die Zehnerpotenzen darstellen.
     7.2 Beschreiben Sie die Wirkung der Funktion g in Worten.   

     Die Funktion g(x) von Aufgabe 7 heißt „Logarithmus von x zur Basis 10“ oder
     kurz: „Zehnerlogarithmus von x“.
     Schreibweise:  g(x) = log10x. Wegen der Beliebtheit des Zehnerlogarithmus
     lässt man die 10 oft einfach weg und schreibt nur „log x“ oder sogar nur „lg x“.

     7.3 Probieren Sie den Zehnerlogarithmus auf Ihrem Taschenrechner aus!

     Allgemein besitzt die Exponentialfunktion f(x) = ax, aIR+, die Umkehrfunktion
     g(x) = logax. 
     Es gilt also:
     

     
loga(ax) = x   und   alogax = x
     


     8.1 Welche max. Definitionsmengen besitzen die Logarithmusfunktionen?   
     8.2 Welche gemeinsame Nullstelle besitzen die Logarithmusfunktionen?   

     Die Umkehrfunktion  g(x)  der Funktion  f(x) = ex  heißt  „natürlicher Logarithmus
     von x“, kurz: ln x.

     Im Folgenden genügt es, die Exponentialfunktion f: x | ex und ihre Derivate zu
     untersuchen,  da sich  alle anderen Exponentialfunktionen  auf diese eine  zurück-
     führen lassen:
     

     
ax = (eln a)x = e(ln a)·x
     

     Bearbeiten Sie nun vom Übungsblatt die Aufgaben 1 und 2 !


d)  Nullstellenbestimmung

     Der natürliche Logarithmus als Umkehrfunktion der e-Funktion ist immer dann
     wichtig, wenn es darum geht, die Funktionsvariable x aus dem Exponenten
     „herunterzuholen“. Das ist stets bei der Nullstellenbestimmung einer Exponential-
     funktion der Fall. Hier ergibt sich nämlich immer eine Exponentialgleichung der
     Form  eg(x) = c  mit  c  IR.
     Wenn  c  positiv  ist,  lässt  sich  auf  beiden  Seiten  der  natürliche  Logarithmus
     anwenden, und man erhält:  g(x) = ln c. Die Lösungen dieser Gleichung sind dann
     die Nullstellen der ursprünglichen Exponentialfunktion.

     9. Bestimmen Sie die Nullstellen der folgenden Funktionen:
     9.1   f:  x  |  ex – 1            
     9.2   f:  x  |  ex2+1 – e2     
     9.3   f:  x  |  e2x – ex – 2   
     9.4   f:  x  |          

     Bearbeiten Sie nun vom Übungsblatt die Aufgaben 3 und 4 !


e)  Knifflige Grenzwerte

     Bei der Grenzwertbestimmung von Funktionen, die die e-Funktion enthalten,
     können knifflige Fälle auftreten, die zu Ausdrücken der Form  oder  führen.

     10.1 Überzeugen Sie sich davon, dass die Funktion  f:  x  |   für  x  0
            einen solchen kniffligen Grenzwert besitzt! 
     10.2 Ermitteln Sie diesen Grenzwert mit Hilfe des Taschenrechners!

     Mit dem Taschenrechner ergibt sich:   .
     Dass wir hier aber nicht auf die empirische Grenzwertermittlung mit dem Taschen-
     rechner angewiesen sind, verdanken wir der „Regel von de L'Hospital“.
     Sie besagt:
     

     
Sind zwei Funktionen f1 und f2 differenzierbar, und gilt f1(x0) = f2(x0) = 0, so gilt:


     

     Der Beweis dieser Regel ist ganz einfach.

     11.1 Testen Sie diese Regel an der rationalen Funktion  f:  x  | ,
             indem Sie den Grenzwert von  f  an der hebbaren Definitionslücke  x = 0
             einmal durch Kürzen und zum andern durch Anwendung der Regel von
             de L'Hospital bestimmen!   
     11.2 Bestimmen Sie nun den Grenzwert der Funktion f von Aufgabe 10 für  x0
             mit Hilfe der Regel von de L'Hospital!   

     Die Regel von de L'Hospital erlaubt mit einigen Umformungen drei Schluss-
     folgerungen: 
     

     
Sind f1 und f2 differenzierbar, und gilt für xx0 f1(x) ∞ und f2(x) ∞, so gilt:


     

     

     
Sind f1 und f2 differenzierbar, und gilt für x ∞ f1(x)  0 und f2(x)  0, so gilt:


     

     

     
Sind f1 und f2 differenzierbar, und gilt für x ∞ f1(x) ∞ und f2(x) ∞, so gilt:


     

     12. Wohin streben die Werte der Funktion  f  von Aufgabe 10, wenn  x gegen
           +∞ bzw. gegen –∞ strebt?   

     13. Gegeben ist die Funktion  f:  x  |   mit  ID = IR \ {0}.
     13.1 Untersuchen Sie das Verhalten von  f  für  x  ± ∞ sowie für  x  0!
             (Beachten Sie, dass Sie nur einmal die Regel von de L'Hospital brauchen.
             Tipp: In diesem Fall formen Sie das Produkt zunächst in einen Quotienten
             um.)   
     13.2 Bestimmen Sie die Gleichung der schiefen Asymptote des Grafen von f! 
             
     13.3 Skizzieren Sie an Hand der gewonnenen Ergebnisse und einer geeigneten 
             Wertetabelle den Grafen von f!   

     Immer dann, wenn bei einer Funktion f(x) = f1(x)·f2(x) der eine Faktor f1(x)
     gegen  0  und der andere Faktor f2(x) gegen –∞ oder gegen +∞ strebt, hilft bei
     der Grenzwertbestimmung vielleicht die Regel von de L'Hospital, indem der
     Funktionsterm f(x) in einen Quotienten der Form  verwandelt wird.

     Bearbeiten Sie nun vom Übungsblatt die Aufgabe 5 !


f)   Integration

     14.1 Bestimmen Sie die folgenden Integrale:
             a) ∫exdx ;     b) ∫e2xdx ;     c) ∫e–x+1dx   
     14.2 Entwickeln Sie eine allgemeine Formel für die Integration des Terms eax+b!
             

     Bearbeiten Sie nun die restlichen Aufgaben 6 bis 15 des Übungsblattes!