1.    Lösen Sie nach  x  auf: 
        a)  10x = 1000       b) 10x = 5       c) ex = 54,6       d) ex = 0,05       e) 2x = 32       f ) 2x = e
        

 2.    Vereinfachen Sie:
        a)                  b)                c)                 d)              e) 
        f)                 g)           h)                 i)            j) 
        

 3.    Bestimmen Sie die Lösungen folgender Gleichungen: 
        a)         b)       c)     d)     e)     f) 
        g)     h)     i)     j)      k) 
        

 4.    Lösen Sie die Ungleichungen: 
        a)               b)               c)               d) 
        e)              f ) 
        

 5.    Gegeben sind die folgenden Funktionsgleichungen:
        a)                     b)                     c) 
        d)                      e)                     f) 
        g)                     h)                 i) 
        j)            k) 
 5.1  Bestimmen Sie das Verhalten der Funktionen an ihren Definitionsgrenzen.   
 5.2  Berechnen Sie die Ableitungen.   

 6.    Gegeben ist die Funktion .
 6.1  Diskutieren Sie  f  in Bezug auf Symmetrie, Verhalten für x  ±∞, Nullstellen, Extremwerte
        und Wendepunkte.
 6.2  Zeichnen Sie den Grafen von f.  
 6.3  Zeigen Sie, dass    eine Stammfunktion von  f  ist, und berechnen
        Sie den Inhalt der Fläche, die G im 1. Quadranten mit der x-Achse einschließt.
        

 7.    Gegeben ist die Funktion .
 7.1  Diskutieren Sie  f  in Bezug auf Symmetrie, Verhalten für x  ±∞, Nullstellen, Extremwerte
        und Wendepunkte.
 7.2  Zeichnen Sie den Grafen von f.  
 7.3  Die  Funktion  F(x) = (ax2 + bx + c)e–x  sei  eine  Stammfunktion  von  f.  Bestimmen  Sie  die
        Parameter a, b und c, und berechnen Sie dann den Inhalt der Fläche, die G im 1. Quadranten
        mit der x-Achse einschließt.
        

 8.    Gegeben ist die Funktion .
 8.1  Diskutieren Sie  f  in Bezug auf Symmetrie, Verhalten für x  ±∞, Nullstellen, Extremwerte
        und Wendepunkte.
 8.2  Zeichnen Sie den Grafen von f. (1LE = 2cm,  Bereich: –3 ≤ x ≤ 1) 
 8.3  Bestimmen Sie die Menge aller Stammfunktionen von  f  sowie die Teilmenge derjenigen Stamm-
        funktionen, deren Grafen den Grafen von  f  schneiden. 
 8.4  Berechnen Sie den Inhalt  A(k)  der Fläche zwischen  G  und der x-Achse,  die links von der
        Geraden  x = k (k < 0) begrenzt  wird. Untersuchen Sie das Verhalten von A(k) für  k  –∞.
        

 9.    Gegeben ist die Funktion .
 9.1  Bestimmen Sie den Definitionsbereich  und die Gleichungen aller Asymptoten. 
 9.2  Untersuchen Sie den Grafen von  f  auf Horizontalpunkte.  
 9.3  Zeichnen Sie den Grafen von f. (G hat keine Wendepunkte!)
 9.4  Der Graf von  f  ist symmetrisch.  Bestimmen Sie das Symmetrieverhalten so genau wie möglich,
        und belegen Sie Ihre Aussage durch eine Rechnung. 
 9.5  Welcher Grafenpunkt Q ist der Spiegelpunkt zu P(xP | 2) bzgl. der in  9.4  ermittelten Symmetrie?
        

10.    Gegeben ist die Funktion .
10.1  Zeigen Sie, dass G bzgl. der y-Achse symmetrisch ist.
10.2  Untersuchen Sie das Verhalten der Funktion  f  an ihren Definitionsgrenzen.  
10.3  Ermitteln Sie das Monotonie- und Krümmungsverhalten von f. Geben Sie auch die Art und die
         Koordinaten eventueller Horizontal- und Flachpunkte an. 
10.4  Zeichnen Sie den Grafen von f. (1LE = 4cm,  Bereich: -2 ≤ x ≤ 2) 
10.5  Bestimmen Sie die Gleichung einer möglichst einfachen rationalen Funktion  g  so,  dass sich die
         Grafen von  f  und  g  für  –2 ≤ x ≤ 2  nur wenig unterscheiden. Zeichnen Sie den Grafen von  g
         in ein eigenes Koordinatensystem. (1LE = 4cm,  Bereich: -2 ≤ x ≤ 2)
         


11.    Gegeben ist die Funktion .
11.1  Diskutieren Sie  f  in Bezug auf Symmetrie, Verhalten für x  ±∞, Nullstellen, Extremwerte
         und Wendepunkte.
11.2  Zeichnen Sie den Grafen von f.  
11.3  G und die Koordinatenachsen schließen im 1. Quadranten eine Fläche ein. Berechnen Sie deren
         Inhalt. 
11.4  G , die y-Achse, die negative x-Achse und die Gerade  x = k (k < 0)  begrenzen eine Fläche
         mit dem Inhalt A(k). Berechnen Sie A(k) und untersuchen Sie dessen Verhalten für  k  –∞.
         

12.    Gegeben ist die Funktion .
12.1  Untersuchen Sie  f  auf Nullstellen,  Grenzverhalten  und  Asymptoten  sowie auf Extremwerte
         (Lage und Art). 
12.2  Zeichnen Sie Gf im Bereich  -4 ≤ x ≤ 4.
12.3  Bestimmen Sie a und b so, dass  Stammfunktion von  f  ist.
         (Ergebnis: a=1 , b=–4) 
12.4  Untersuchen Sie,  ob das von  Gf ,  der negativen x-Achse  und der y-Achse begrenzte Flächen-
         stück einen  endlichen Inhalt hat 
12.5  Die Punkte O(0 | 0), A(a | f(a)) und B(0 | f(a)) mit  0 < a < 2  bilden ein Dreieck. Bestimmen Sie
        den Parameter a  so, dass der Flächeninhalt des Dreiecks maximal wird.
         

13.    Gegeben ist die Funktion .
13.1  Untersuchen Sie  f  auf Nullstellen und Extremwerte.  
13.2  Untersuchen Sie  f  an der Stelle  x = 2  auf Stetigkeit und auf Differenzierbarkeit. 
13.3  Berechnen  Sie  die  Maßzahl  der  zwischen  dem  Grafen  von  f  und  der  positiven  x-Achse
         eingeschlossenen Fläche.  (2 Teilflächen!)
13.4  Begründen Sie, ob es ein  c  IR  gibt, so dass   = 0  gilt.
         

14.    Auf der Erde lebten 1930 etwa 2·109 und 2000 etwa 6·109 Menschen. Das Wachstum
         der Erdbevölkerung lässt sich annähernd durch eine Exponentialfunktion der Form  n(t) = a · eb t
         beschreiben. Dabei bedeuten  t  die Jahreszahl  und  n(t)  die Anzahl der Menschen im Jahre  t.
14.1  Berechnen Sie die rellen Konstanten  a  und  b. 
14.2  Wie viele Menschen hätten demnach 1950 gelebt? (Tatsächlicher Wert:  2,509·109) 
14.3  Wann wird nach diesem Modell die 10-Milliarden-Grenze überschritten? 
14.4  Wann hat nach diesem Modell das biblische Urelternpaar Adam und Eva gelebt? 
14.5  In welchem Zeitraum verdoppelt sich demzufolge die Weltbevölkerung? 
14.6  Nehmen Sie zu den Grenzen dieses Modells kritisch Stellung. 
         

15.    (Abschlussprüfung Nachtermin 1999) 
         In  nebenstehendem  Diagramm  ist  eine
         Ausgleichskurve  für die  DDT-Belastung
         in Lebertran aus Ostseefischen dargestellt.
         Als  Ursache  für  den  Rückgang der Be-
         lastung wird das Verbot des Einsatzes von
         DDT in der Landwirtschaft angesehen. 
15.1  Der  nebenstehende  Graf  soll  für   t ≥ 0
         durch  eine  Exponentialfunktion  der  Art
         f( t )  =  a · ek · t  mit a, kIR beschrieben
         werden.
         Bestimmen  Sie  die beiden  Koeffizienten
         a   und   k   näherungsweise   unter   Ver-
         wendung  von geeigneten Daten  aus dem
         Diagramm.  Überprüfen  Sie  Ihr Ergebnis
         an einem weiteren Punktepaar.
         (Zur Kontrolle: a = 25, k ≈ –0,107) 
15.2  Es gibt eine Zeitspanne T, nach der die DDT-Belastung sich jeweils halbiert hat. Erläutern Sie,
         dass hierfür der Ansatz  2f(t0+T) = f(t0)  gilt, und berechnen Sie daraus T.
         

16.    In einer Population von n=1500 Mitgliedern kann sich eine Epidemie im Verlauf der Zeit t,
         gemessen in Tagen, auf folgende drei Arten ausbreiten: 
         
16.1  Erläutern Sie die Unterschiede des Epidemieverlaufs, den die drei Grafen wiedergeben.  
         Nun sei die Beziehung  n(t)=   mit  t ≥ 0  gegeben. Dabei sei  t  die Zeit in Tagen.
16.2  Begründen Sie, zu welchem der drei Grafen der Term  n(t)  nur gehören kann.  
16.3  Die Steigung von  n  an der Stelle  t  lässt sich als momentane Ausbreitungsgeschwindigkeit der
         Epidemie zum Zeitpunkt  t  interpretieren. Berechnen Sie die Ausbreitungsgeschwindigkeit zum
         Zeitpunkt  t = 0  sowie den größtmöglichen Wert der Ausbreitungsgeschwindigkeit. 
16.4  Berechnen Sie, nach welcher Zeit 60 % der Mitglieder infiziert sind.