1. Der Kreis

1.1 Definition

Der Kreis ist der geometrische Ort aller Punkte P einer Ebene, die von einem festen Punkt dieser Ebene,dem Mittelpunkt
M des Kreises, einen konstanten Abstand, den Radius r des Kreises, haben.
Zum Unterschied von der durch einen Kreis in der Ebene begrenzten Kreisfläche wird der Kreis selbst auch als Kreislinie
oder Kreisperipherie bezeichnet.

a) Kreise sind immer ähnlich, d. h. bei identischem Mittelpunkt gehen sie durch zentrische Streckung (oder Stauchung)
    auseinander hervor.

    graphischer Beweis:

    Sei K₁ Kreis mit Radius r₁ und K₂ Kreis mit Radius r₂ (r₁r₂ ) und sei M Mittelpunkt der Kreise.
     Streckungsfaktor:

b) Der Kreis ist eine Figur von maximaler Symmetrie. Jeder Durchmesser ist eine
    Symmetrieachse. Jede Drehung um den Mittelpunkt bildet den Kreis auf sich
    selbst ab. Neben der Geraden ist er damit die einzige ebene Figur mit
    unendlich vielen Kongruenzabbildungen auf sich selbst.

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2. Die Kreiszahl Pi

Es gibt zwischen Umfang und Durchmesser einen proportionalen Zusammenhang.

Wir erhalten eine Strahlensatzfigur. Alle Kreise sind ähnliche Figuren.
Daher gilt:

Für jeden Kreis ist das Verhältnis des Umfangs zu seinem Durchmesser gleich. Diese Konstante heißt Kreiszahl.
Man bezeichnet sie mit dem griechischen Buchstaben (Pi).

Die Kreiszahl ist eine nicht abbrechende nichtperiodische Dezimalzahl. Der Wert von lässt sich
nicht als Bruch schreiben, er beträgt 3,14159... Die Kreiszahl ist keine rationale Zahl, sie ist irrational.

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3. Kreisberechnungen

3.1 Durchmesser

Für den Durchmesser gilt:

3.2 Umfang

     
Aus dem Verhältnis ergibt sich die Umfangsformel des Kreises.

3.3 Flächeninhalt

Der Kreis kann in zwei Halbkreise zerlegt werden, die wiederum in mehrere Sektoren eingeteilt werden können.
Je größer die Anzahl der Kreisausschnitte eines Halbkreises ist, desto mehr nähert sich folgende Figur einem Parallelogramm.

Eine Seite des Parallelogramms ist der halbe Umfang U. Die dazugehörige Höhe ist der Radius r des Kreises.
Somit folgt für den Flächeninhalt A des Parallelogramms:

Die Fläche des Kreises hängt nur von dessen Radius ab.

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3.4 Kreisring

Ein Kreisring besteht aus zwei konzentrischen Kreisen, das heißt die beiden Kreise haben den gleichen Mittelpunkt.
Sei r_a der Radius des äußeren Kreises und r_i der Radius des inneren Kreises ( ).

Den Flächeninhalt A erhält man, indem man den Flächeninhalt des Kreises mit dem Radius r_i von dem Flächeninhalt
des Kreises mit dem Radius r_a subtrahiert.

3.5 Kreisbogen

Der Begriff Kreisbogen bezeichnet ein Teilstück des Umfangs.
Die Länge des Kreisbogens b ist abhängig vom Radius r und dem Mittelpunktswinkel .
Hier:
              

Allgemein:
n= Anzahl der Kreisbögen

Für die Länge des Kreisbogens gilt:

Für den Sonderfall, dass = 360° ist, ergibt sich der Kreisumfang nach der Formel .

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4. Das Bogenmaß

4.1 Definition

Als Bogenmaß bezeichnet man die zum Winkel gehörende Bogenlänge im Einheitskreis.

Das Bogenmaß bietet eine neue Möglichkeit um Winkel zu messen.

Bisheriges Messverfahren: Altbekanntes Gradmaß (siehe Geodreieck).

4.2 Zusammenhang zwischen Gradmaß und Bogenmaß

(vgl. Formel für Bogenlänge mit r=1)

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5. Der Kreissektor

5.1 Definition

"Kreissektor" (Kreisausschnitt) nennt man in der Geometrie eine Teilfläche einer Kreisfläche, die von einem Kreisbogen
und zwei Kreisradien begrenzt wird.

5.2 Flächeninhalt des Sektors

Die Fläche des Kreissektors ist abhängig vom Radius r des Kreises und dem Mittelpunktswinkel .

Hier: = 45°
        

Allgemein:
n= Anzahl der Sektoren

Für den Flächeninhalt des Sektors gilt:

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6. Der Satz des Thales

Liegt eine Ecke eines Dreiecks auf dem Halbkreis über der gegenüber liegenden Seite, so hat der entsprechende Winkel
eine Größe von 90°.

Wir können zeigen, dass jedes Dreieck rechtwinklig ist, wenn eine Seite Durchmesser des Kreises ist.

Graphischer Beweis (Applet)

Wir wählen einen Punkt C beliebig auf einem Kreis und verbinden ihn mit den Endpunkten eines Durchmessers AB.

Wir zeigen, dass das Dreieck ABC rechtwinklig ist.
Die Dreiecke AMC und BMC sind gleichschenklig. Da ihre Basiswinkel gleich groß sind, gilt für das Dreieck ABC:

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