Gleichungen oder Aussageformen mit mehreren Variablen (Unbekannten), für die eine gemeinsame Lösung gefunden werden soll, nennt man Gleichungssysteme.
Gleichungssysteme werden üblicherweise in folgender Form geschrieben:

Das grafische Verfahren zur Lösung eines linearen Gleichunhssystems ist auf 2 Gleichungen mit 2 Unbekannten beschränkt. In diesem Fall lassen sich nämlich die beiden Gleichungen nach y auflösen, so dass man die Gleichungen zweier linearer Funktionen der Form y = f(x) erhält. Der Vergleich ihrer Grafen führt zu einer Fallunterscheidung:

Die beiden Grafen haben einen Schnittpunkt. Da der Schnittpunkt auf jedem der beiden Funktionsgrafen liegt, erfüllen seine Koordinaten beide Funktionsgleichungen. Die Koordinaten des Schnittpunktes stellen also die Lösung des linearen Gleichungssystems dar.

Die beiden Grafen sind echt parallel. In diesem Fall gibt es keinen Schnittpunkt, d. h. das Gleichungssystem besitzt keine Lösung.

Die beiden Grafen fallen zusammen. In diesem Fall gibt es unendlich viele Lösungen.

Bestimmen Sie nun zeichnerisch die Lösung des linearen Gleichungssystems!

Da bei Umformungen von Gleichungen die bekannten Äquivalenzumformungen erlaubt sind, ist es auch möglich, die links- und rechtsseitigen Terme einer zweiten Gleichung zu addieren . Auf diesem Prinzip beruht das Additionsverfahren.
Die Gleichungen des Gleichungssystems sollten dabei so umgeformt werden, dass bei der Addition (oder der Subtraktion) der beiden Gleichungen eine Variable herausfällt, so dass (bei 3 Gleichungen mit 3 Unbekannten nach mehreren Schritten) nur noch eine Bestimmungsgleichung mit einer Variablen übrigbleibt, aus der die Variable berechnet werden kann. Durch Einsetzen dieses Variablenwerts in die andere(n) Gleichung(en) kann man dann den/die anderen Variablenwert(e) berechnen. Die praktische Anwendung wird in den Aufgaben genauer erläutert.

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit dem Additionsverfahren und machen Sie die Probe, indem Sie die gefundenen Werte für x und y in die beiden Gleichungen einsetzen!

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit 3 Variablen nach dem Additionsverfahren, machen Sie jeweils die Probe indem Sie die gefundene Werte für a, b und c in die drei Gleichungen einsetzen!

Auch bei Gleichungssystemen mit mehr als zwei Variablen können Sonderfälle auftreten, so dass keine Lösung existiert oder dass es unendlich viele Lösungen gibt. Falls keine Lösung vorhanden ist, muss bei der Rechnung eine falsche Aussage entstehen. Falls es unendlich viele Lösungen gibt, muss bei der Rechnung eine wahre Aussage entstehen.

Prüfen Sie mit dem Additionsverfahren, ob es eine Lösung, unendlich viele Lösungen oder keine Lösung gibt.

a)

2x – 3y + 2z = 1

b)

2x – 3y + 2z = 1

c)

2x + 3y + 4z = 20

–4x + 6y – 4z = –2

–4x + 6y – 4z = –2

–2x – 2y + 3z = 3

x – 1,5y + z = 1

x – 1,5y + z = 0,5

–x – 3y + 4z = 5

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit dem Einsetzungsverfahren und machen Sie die Probe, indem Sie die gefundenen Werte für x und y in die beiden aufgestellten Gleichungen einsetzen.

Prüfen Sie mit dem Einsetzungsverfahren, ob die Gleichungen genau eine Lösung, keine Lösung oder unendlich viele Lösungen haben.

Lösen Sie das Gleichungssystem von Aufgabe 3 nach dem Einsetzungsverfahren!  

Lösen Sie das folgende Gleichungssystem mit dem Gleichsetzungsverfahren und machen Sie die Probe, indem Sie die gefundenen Werte für x und y in die beiden aufgestellten Gleichungen einsetzen.