11. Klasse 2. Schulaufgabe 07.12.2006
     

 
1.  
1.1

Der y-Wert 0 wird in die Funktionsgleichung eingesetzt, somit erhält man den Schnittpunkt mit der x-Achse. Setzt man den x-Wert 0 ein, erhält man den Schnittpunkt mit der y-Achse.   

 

1.2

Man setzt die Koordinaten des Punktes in die Funktionsgleichunge und erhält auf beiden Seiten den gleichen Wert (eine wahre Aussage). Somit ist bewiesen, dass P auf g liegt.

 
1.3

2 Bedingungen sollen erfüllt werden: Die Gerade h geht durch den Ursprung (0/0) (1. Bedingung), und h geht durch den Punkt P(2,5/-4)(2.Bedingung). Beide Punkte müssen in die Geradengleichung y=mx+t eingesetzt werden.                                                 

Setzt man den Punkt (0/0) ein wird t=0 erkennbar. Nun setzt man t in die zweite erhaltene Gleichung ein und erhält die Steigung m. Die Werte für t und m können nun in y = mx + t eingesetzt werden, und man erhält die Gleichung der Geraden h.           

                     
1.4
  Der Punkt P legt mit dem Ursprung wie in der Skizze dargestellt ein rechtwinkliges Dreieck fest. Will man den Abstand c vom Ursprung zu dem Punkt P erhalten , so berechnet man diesen mit Hilfe des Satzes von Pythagoras.
Anmerkung: Die Katheten a und b heißen auch Abszisse und Ordinate des Punktes P 		 
     
2.

Man erhält die zwei fehlenden Werte, indem man erst die Steigung m aus zwei gegebenen Wertepaaren berechnet. Diese Steigung m setzt man mit dem Ansatz gleich, der eine unbekannte Koordinate y oder x enthält. Somit berechnet man die fehlenden Koordinaten der Tabelle.

Alternative: Man stellt aus zwei Wertepaaren eine Geradengleichung auf und berechnet die fehlenden Werte durch Einsetzen des gegebenen x- oder y-Wertes in die Funktionsgleichung.

     
3.  
3.1 Man setzt x=-5 in die Ungleichung ein und berechnet linke und rechte Seite getrennt. Das Ergebnis ist eine wahre Aussage.
3.2

Die Lösung ist x<4. In der Grundmenge IN="Menge der natürlichen Zahlen" kommen also nur die Werte 1,2 und 3 in Frage.

Q ist die Menge aller Brüche , somit ergibt sich das Ergebnis .
 

 
     
4.  
4.1 Man berechnet erst, wieviel km Lena in einer Minute zurück legt. Hat man berechnet wieviele Kilometer sie in einer Minute zurückgelegt hat, muss man dieses Ergebnis nur noch mit der gesamten Fahrzeit multiplizieren.

4.2

Der Wert "Kilometer pro Minute" ist gleichzeitig der Steigungswert für die Funktion, so dass nur noch ein geeigneter Wert für den y-Achsenabschnitt t bestimmt werden muss.

4.3 Durch die Zeichnung unter 4.2) kann man erkennen, wie weit Lena vom Ziel entfernt ist als Karl startet und wann sie sich treffen ( nach 30 Minuten von Lenas Start an; 10 Minuten nach seinem Start). Ebenso kann man durch die Zeichnung erkennen wann beide ihr Ziel erreichen.
     
     
5.

Betrachten Sie untenstehende Figur:

 

 
5.1

In der Formelsammlung findet man die Formeln für Flächeninhalt und Umfang des Kreises. Man multipliziert mit 1/2, weil es nur ein halber Kreis ist. Somit kann man den ersten Flächeninhalt mit dem gegebenen a=5 berechnen. Den zweiten Flächeninhalt erhält man, indem man von der Fläche des Rechtecks noch den Flächeninhalt von zwei Viertelkreisen abzieht.

Für den Umfang der ersten Figur multipliziert man die Umfangsformel u = mit 1/2, addiert die Strecke 2a und setzt das gegebene a=5 in die Formel ein.

Für die Umfangberechnung der zweiten Figur addiert man die Länge der beiden Viertelkreisbögen zur Strecke 2a.

 

5.2 Hierfür nimmt man wieder die Flächenformel aus 5.1) und fasst diese in Abhängigkeit von a zusammen.