a)  Wiederholung

     1.1 Erklären Sie, um welche Funktion es sich bei dem „natürlichen Logarithmus“
           handelt!   
     1.2 In welcher geometrischen Beziehung  stehen  die Grafen der e-Funktion  und
           des natürlichen Logarithmus miteinander?   
     1.3 Zeichnen Sie den Grafen der Funktion f(x) = ln x !   
     1.4 Leiten Sie aus dem Grafen von 1.3 möglichst viele Eigenschaften der Funktion
           f(x) = ln x  ab!   


b)  Nullstellenbestimmung

     Bei der Nullstellenbestimmung einer Funktion mit dem natürlichen Logarithmus
     ergibt  sich  nach  eventueller  Umformung  oft  eine  logarithmische  Gleichung
     der Form
     ln(g(x)) = c  mit  c  IR.
     Auf die beiden Seiten  dieser  Gleichung  lässt  sich  die  e-Funktion  als  Umkehr-
     funktion des natürlichen Logarithmus anwenden, und man erhält:
     g(x) = ec. 
     Die  Lösungen  dieser  Gleichung  sind  dann  die  Nullstellen  der  ursprünglichen
     Logarithmusfunktion.

     2. Bestimmen  Sie  die  Definitionsmengen  und  die  Nullstellen  der  folgenden
         Funktionen: 
     2.1   f:  x  |  ln x – 1                       
     2.2   f:  x  |  ln(x2–1) – ln 3             
     2.3   f:  x  |  (ln x)2 + ln x – 2          
     2.4   f:  x  |  (x2 – 1)·ln(x2 + 1,5x)   

     Bearbeiten Sie nun vom Übungsblatt die Aufgabe 1 !


c)   Ableitung des natürlichen Logarithmus

     Die  Funktion   f(x) = x   lässt  sich  zumindest  für   x > 0   etwas  kompliziert  als
     f(x) = eln x darstellen. 
     3. Leiten Sie  beide Darstellungsweisen  der Funktion  f  ab,  und vereinfachen Sie
         das Ergebnis!
         Welche Schlussfolgerung ergibt sich für die Ableitung  (ln x)' von  ln x?   

     4. Bestimmen Sie die Ableitungen der Funktionen von Aufgabe 2!   

     Bearbeiten Sie nun vom Übungsblatt die Aufgabe 2 !


d)  Rechenregeln für den Logarithmus

     Der Begriff  „Logarithmus“  ist ein Synonym für  „Exponent“.  Beispielsweise ist
     der Zehnerlogarithmus von 1000 gleich dem Exponenten,  mit dem 10 potenziert
     werden  muss,  um  1000  zu erhalten.  Demnach müssen die bekannten Potenz-
     regeln zum Multiplizieren oder Dividieren von Potenzen mit gleicher Basis  sowie
     zum  Potenzieren  von  Potenzen  in  analoger  Weise  als  Rechenregeln  für  den
     Logarithmus formulierbar sein.

     5. Stellen Sie in einer Tabelle die erwähnten Potenzregeln und die dazu analogen
         Logarithmusregeln zusammen!   

     Der Logarithmus verwandelt also Produkte in Summen, Quotienten in Differenzen
     und Potenzen in Produkte,  d. h.  er führt  eine höhere Rechenart  auf die nächst
     einfachere Rechenart zurück.

     6.1 Welche geometrische Beziehung besteht zwischen den Grafen der Funktionen
           f(x) = ln x  und  g(x) = ln 2x ?   
     6.2 Welche geometrische Beziehung besteht zwischen den Grafen der Funktionen
           f(x) = ln x²  und  g(x) = 2 ln x ?   
     6.3 Welche geometrische Beziehung besteht zwischen den Grafen der Funktionen
           f(x) = ln x²  und  g(x) = 2 ln |x| ?   

     7. Jemand  behauptet,  auf  Grund  der  Rechenregeln  zum  Logarithmus  gelte
         ln  = ln x – ln (x – 2).  Widerlegen und korrigieren Sie diese Behauptung!
         

     Aus  den  Aufgaben  6.2  und  7.  wird  deutlich,  dass  bei  der  Anwendung  der
     Logarithmus-Rechenregeln  auf  logarithmische Funktionsterme  Vorsicht  geboten
     ist, da sich bei Unachtsamkeit leicht die Definitionsmenge verändern kann.

     Bearbeiten Sie nun vom Übungsblatt die Aufgaben 3 und 4 !


e)  Knifflige Grenzwerte

     Wie bei der e-Funktion können auch beim natürlichen Logarithmus Grenzwerte
     auftreten, die die Form    oder    haben.  Auch hier hilft oft  die Regel von
     de L'Hospital!

     8.    Untersuchen  Sie  das  Verhalten  der  folgenden  Funktionen  an  ihren
            Definitionsrändern: 
     8.1   f:  x  |          
     8.2   f:  x  |        
     8.3   f:  x  |  x · ln x   

     Bearbeiten Sie nun vom Übungsblatt die Aufgabe 5 !


f)   Der natürliche Logarithmus als Stammfunktion

     9.1 Bestimmen Sie die folgenden Integrale:
           a)  ∫dx  für x > 0;     b)  ∫dx  für x > 1;     c)  ∫dx  für x > –1;
           d)  ∫dx  für x < 1;     e)  ∫dx  für x > 0,5   
     9.2  Stellen  Sie  eine  allgemeine  Formel  zur  Berechnung  des  Integrals
            für  a, c  IR\{0}, b  IR und  ax + b > 0 auf!   

     10.1 Leiten Sie ab:
            a)  ln x  für x > 0;              b)  ln (–x)  für x < 0;
            c)  ln (x–1)  für x > 1;        d)  ln (1–x)  für x < 1;
            e)  ln (2x+4)  für x > –2;    f)  ln (–2x–4)  für x < –2   
     10.2  Geben Sie nun jeweils eine Stammfunktion F der folgenden Funktionen an:
            a)  f(x) =  , x  IR\{0};             b)  f(x) =  , x  IR\{1}
            c)  f(x) =  , x  IR\{–2};      d)  f(x) =  , x  IR\{2}   

     Bearbeiten Sie nun die restlichen Aufgaben 6 bis 15 des Übungsblattes!