Bezeichnung mit Großbuchstaben und Vergabe gegen den Uhrzeigersinn
Winkel:
an der Ecke A liegt der Winkel α an;
an der Ecke B liegt der Winkel β an;
an der Ecke C liegt der Winkel γ an;
Seiten:
Jede gegenüberliegende Seite eines Eckpunktes
wird
mit dessen Kleinbuchstaben bezeichnet
Formeln
Umfang:
U = a + b + c
Fläche:
A = ½ • g • h
d. h. das Lot auf der Grundlinie g durch den
gegenüberliegenden Punkt ergibt die Höhe h.
Winkelsumme:
α + β + γ = 180°
Typen der Dreiecke
spitzwinkliges Dreieck
alle 3 Winkel sind kleiner als 90°
stumpfwinkliges Dreieck
1 Winkel ist gößer als 90°
rechtwinkliges Dreieck
1 Winkel ist genau 90°
ungleichseitiges Dreieck
a ≠ b ≠ c
Besondere Dreiecke
gleichschenkliges Dreieck
Basis/Schenkel
Hinweis:
Wird die Basis halbiert, erhalten
wir zwei 90° Winkel (Pythagoras)
gleichseitiges Dreieck
α = β = γ → 60°
rechtwinkliges Dreieck
Voraussetzungen:
ein Winkel γ ist 90°
α + β = 90° (Komplementwinkel)
PYTHAGORAS:
Satz von Pythagoras:
Im rechtwinkligen Dreieck sind die Kathetenquadrate
zusammen so
groß wie das Hypotenusenquadrat
c²=
a² + b²
c =
Hypothenuse, gegenüber 90° Winkel
a/b =
Kathete
Beweis:
Der Beweis beruht auf der Ergänzungsgleichheit von Figuren. In einem
quadratischen Rahmen (Seitenlänge a + b) legt man vier kongruente
rechtwinklige Dreiecke mit den Katheten a und b. Je nach Anordnung
bleibt einaml das Hypothensusenquadrat (c²) und das andere Mal die
beiden Kathetenquadrate (a², b²) übrig.
KATHETENSATZ:
Satz von Euklid
Im rechtwinkligen Dreieck ist
ein Kathetenquadrat so groß wie das Rechteck aus
der Hypotenuse und dem anliegenden Hypotenusenabschnitt.
(Kathetensatz)
a² = p • c
oder
b² = q • c
Beweis nach Fegert:
Dieser Beweis beruht auf der Ergänzungsgleichheit zweier Figuren.
In einem viereckigen Rahmen legt man zei rechtwinklige Dreiecke.
Je nach der Anordnung bleibt einmal das Kathetenquadrat (a²) und
das andere Mal ein Rechteck (pc) übrig.
HÖHENSATZ:
Satz von Euklid
Im rechtwinkligen Dreieck ist das
Höhenquadrat so groß wie das Rechteck aus
den Hypotenusenabschnitten
h² = p • q
A = ½ • c • h
Beweis:
Auch beim Höhensatz wird der Beweis durch die Ergänzungsgleichheit
erbracht. d. h. in einen dreieckigen Rahmen legt man zwei rechtwinklige
Dreiecke. Je nach Anordnung bleibt einmal das Höhenquadrat (h²) und
das andere Mal ein Rechteck (pq) übrig.
